【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=-x2+x+4,x=3;(2)C(0,4);y=x+4.(3)Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱軸方程;
(2)在拋物線解析式中,令x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo);令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;
(3)本問為存在型問題.若△ACQ為等腰三角形,則有三種可能的情形,需要分類討論,逐一計(jì)算,避免漏解.
(1)∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),
∴-×(-2)2+b×(-2)+4=0,
解得:b=,
∴拋物線解析式為 y=-x2+x+4,
又∵y=-x2+x+4=-(x-3)2+,
∴對(duì)稱軸方程為:x=3.
(2)在y=-x2+x+4中,令x=0,得y=4,
∴C(0,4);
令y=0,即-x2+x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2,
∴A(-2,0),B(8,0).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐標(biāo)分別代入解析式,得:
,
解得,
∴直線BC的解析式為:y=x+4.
∵拋物線的對(duì)稱軸方程為:x=3,
可設(shè)點(diǎn)Q(3,t),則可求得:
AC=,
AQ=,
CQ=.
i)當(dāng)AQ=CQ時(shí),有=,
25+t2=t2-8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
ii)當(dāng)AC=AQ時(shí),有
t2=-5,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形;
iii)當(dāng)AC=CQ時(shí),有,
整理得:t2-8t+5=0,
解得:t=4±,
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為:Q2(3,4+),Q3(3,4-).
綜上所述,存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表
x | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣1 | 3 | 5 | 3 |
下列結(jié)論:
①ac<0;
②當(dāng)x>1時(shí),y的值隨x值的增大而減。
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;
④當(dāng)﹣1<x<3時(shí),ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正確的結(jié)論是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A. 4a2+4a2=8a2B. (3x-2)(2x+3)=6x2-6
C. (-2a2b)4=8a8b4D. (2x+1)2=4x2+1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個(gè)根,且x12+x22=8,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】媽媽做了一份美味可口的菜品,為了了解菜品的咸淡是否合適,于是媽媽取了一點(diǎn)品嘗,這應(yīng)該屬于 . (填:普查或抽樣調(diào)查)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列運(yùn)算中,正確的是( )
A. (-b)2·(-b)3=b5B. (-2b)3=-6b3C. a4÷a2=a2D. (-a)3÷(-a)=-a2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】ABCD中,E是CD邊上一點(diǎn),
(1)將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 ,∠AFB=∠
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)的圖象,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).
(1)求出圖象與軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P,使,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在y軸上存在一點(diǎn)Q,使得△QMB周長(zhǎng)最小,求出Q點(diǎn)坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差s2如下表所示:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均數(shù)(cm) | 561 | 560 | 561 | 560 |
方差s2 | 3.5 | 3.5 | 15.5 | 16.5 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),要從中選擇一名成績(jī)好又發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽,應(yīng)該選擇( 。
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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