Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點(diǎn)，D為頂點(diǎn)．
（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為（______，______）．
（2）BC=______

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用拋物線的頂點(diǎn)公式即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合題意，可知可得出B點(diǎn)、C點(diǎn)和點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可分別得出三個(gè)線段的長(zhǎng)度，利用向量關(guān)系易得，BC⊥CD，即△BCD為直角三角形；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，經(jīng)分析，有以下幾種情況：①連接AC，可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，②過(guò)A作AP₁⊥AC交y軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△BCD；③過(guò)4C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△BCD；結(jié)合上述情況，分別可得出對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo)；
解答：解：（1）D（1，-4）（2分）

（2）結(jié)合題意，可得C（0，-3）；B（3，0）
，BD=2，CD=，
且=（3，1），=（1，-3），
可知，
即△BCD是直角三角形 （6分）

（3）①連接AC，可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，符合條件的點(diǎn)為O（0，0）
②過(guò)A作AP₁⊥AC交y軸于P₁
可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△BCD符合條件的點(diǎn)為
③過(guò)C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△BCD，符合條件的點(diǎn)為P₂（9，0）
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），，P₂（9，0）（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線方程的頂點(diǎn)公式和相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性．