Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E．

（1）求∠OCA的度數；

（2）若∠COB=3∠AOB，OC=，求圖中陰影部分面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）．

【解析】

試題分析：（1）圓內接四邊形性質得到∠ABC+∠D=180°，根據∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，由OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；

（2）由∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，從而有∠COB為直角，然后利用S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=，∴OE=OCtan∠OCE=tan30°==2，

∴S△OEC=OEOC==，∴S扇形OBC==3π，∴S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC=．