Question

如圖，在?ABCD中，AD=4，∠DAB=120°，以AB為直徑的⊙O與CD相切于點E，交BC于點M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求、線段CM、CD、AD所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，過A作AF垂直于CD，利用平行線間的距離處處相等得到AF=OE，在直角三角形ADF中，由平行四邊形的鄰角互補求出∠D=60°，利用銳角三角函數(shù)定義及AD的長求出AF的長，得到OE的長，即為圓O的半徑；
（2）利用平行四邊形的對角相等，由∠D=60°得到∠B=60°，再由OM=OB，得到三角形OBM為等邊三角形，平行四邊形為AB為底，其長為圓O的直徑長，高為圓的半徑長，利用平行四邊形的面積公式求出，扇形的圓心角∠AOM=120°，半徑為圓O的半徑，利用扇形的面積公式求出，等邊三角形的邊長等于圓O的半徑，求出等邊三角形的面積，利用陰影部分的面積=平行四邊形的面積-扇形AOM的面積-等邊三角形OBM的面積，即可求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接OE，過A作AF⊥DC，
∵CD為圓O的切線，
∴OE⊥CD，OE為圓O的半徑，
又四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴AF=OE，∠DAB+∠D=180°，
又∠DAB=120°，
∴∠D=60°，
在Rt△ADF中，∠D=60°，AD=4，
∴AF=AD•sin60°=4×=2，
則圓O的半徑為2；
（2）連接OM，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠B=∠D=60°，又OM=OB，
∴△OBM為邊長為2的等邊三角形，
則S_陰影=S_{平行四邊形ABCD}-S_扇形AOM-S_△BOM=4×2--×（2）²=24-4π-3．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，扇形的面積求法，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．