(2009•十堰)如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖②,若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時E點的坐標.
【答案】分析:(1)已知拋物線過A、B兩點,可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

(2)可根據(jù)(1)的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸,也就得出了M點的坐標,由于C是拋物線與y軸的交點,因此C的坐標為(0,3),根據(jù)M、C的坐標可求出CM的距離.然后分三種情況進行討論:
①當CP=PM時,P位于CM的垂直平分線上.求P點坐標關(guān)鍵是求P的縱坐標,過P作PQ⊥y軸于Q,如果設(shè)PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的長,可根據(jù)M的坐標得出,CQ=3-x,因此可根據(jù)勾股定理求出x的值,P點的橫坐標與M的橫坐標相同,縱坐標為x,由此可得出P的坐標.
②當CM=MP時,根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標,也就得出了P的坐標(要注意分上下兩點).
③當CM=CP時,因為C的坐標為(0,3),那么直線y=3必垂直平分PM,因此P的縱坐標是6,由此可得出P的坐標;
(3)由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算,過E作EF⊥x軸于F,四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積.直角梯形FOCE中,F(xiàn)O為E的橫坐標的絕對值,EF為E的縱坐標,已知C的縱坐標,就知道了OC的長.在三角形BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的橫坐標表示出BF的長.如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標,然后代入上面的線段中,即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標的值.即可求出此時E的坐標.
解答:解:
(1)由題知:
解得:
∴所求拋物線解析式為:
y=-x2-2x+3;

(2)∵拋物線解析式為:
y=-x2-2x+3,
∴其對稱軸為x==-1,
∴設(shè)P點坐標為(-1,a),當x=0時,y=3,
∴C(0,3),M(-1,0)
∴當CP=PM時,(-1)2+(3-a)2=a2,解得a=,
∴P點坐標為:P(-1,);
∴當CM=PM時,(-1)2+32=a2,解得a=±,
∴P點坐標為:P(-1,)或P(-1,-);
∴當CM=CP時,由勾股定理得:(-1)2+32=(-1)2+(3-a)2,解得a=6,
∴P點坐標為:P(-1,6)
綜上所述存在符合條件的點P,其坐標為P(-1,)或P(-1,-
或P(-1,6)或P(-1,);

(3)過點E作EF⊥x軸于點F,設(shè)E(a,-a2-2a+3)(-3<a<0)
∴EF=-a2-2a+3,BF=a+3,OF=-a
∴S四邊形BOCE=BF•EF+(OC+EF)•OF
=(a+3)•(-a2-2a+3)+(-a2-2a+6)•(-a)
=
=-+
∴當a=-時,S四邊形BOCE最大,且最大值為
此時,點E坐標為(-).
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識,要注意的是(2)中,不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下,要分類進行求解,不要漏解.
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