Question

已知，如圖，AB為半圓O的直徑，C為OB上一點，OC：CB=1：3，DC⊥AB交半圓O于D，過D作半圓O的切線交AB的延長線于E．
（1）若BE=12，求半圓O的半徑長；
（2）在弧BD上任取一點P（不與B、D重合），連接EP并延長交弧AD于F，設(shè)PC=x，EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）是求線段的長，由于題目中給出了兩條線段長度的比，所以可以設(shè)未知數(shù)，利用圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)造方程來求解．
（2）涉及研究線段與線段函數(shù)關(guān)系的問題，線段作為變量，解題的關(guān)鍵是用幾何定理揭示它們之間的等量關(guān)系，列出方程后，再化為函數(shù)解析式．實質(zhì)上還是構(gòu)造方程，利用方程思想解題．

解答：解：（1）連接OD，
設(shè)OC=a，則BC=3a，OD=OB=4a；
∵DE是半圓的切線，
∴OD⊥DE；
又∵DC⊥AB，
∴△OCD∽△ODE，
∴OD²=OC×OE，
（4a）²=a×（4a+12），
解得a=0（不合題意，舍去），a=1，
∴OB=4a=4．

（2）連接OF；
∵△DCE∽△ODE，
∴DE：OE=CE：DE，
∴DE²=OE×EC；
由切割線定理可得DE²=PE×EF，
∴OE×EC=PE×EF，
∴PE：CE=OE：FE；
∵∠CEP=∠FEO，
∴△CEP∽△FEO，
∴PC：OF=EC：EF，
x：4=15：y，
∴y=

60

x

；
當(dāng)P取B點時，PC最短，此時PC=3；
當(dāng)P取D點時，PC最長，此時PC=

15

；
∴3＜x＜

15

．

點評：此例是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)為等量關(guān)系，列出方程后，再化為函數(shù)解析式的．特別要注意用圖形的幾何性質(zhì)來確定自變量的取值范圍．