Question

在點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線(xiàn)y=x上時(shí)，停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線(xiàn)y=x于點(diǎn)M，交x軸于N．
（1）旋轉(zhuǎn)停止時(shí)正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是

45

度；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，
①△OAM與△OCA是否全等？此時(shí)正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是多少？
②直接寫(xiě)出△MBN的周長(zhǎng)的值，并判斷這個(gè)值在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否發(fā)生變化？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)y=x圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，得出線(xiàn)y=x與y軸的夾角是45°，即可得出求得邊OA旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）①利用SAS得出全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子即可．

解答：解：（1）∵A點(diǎn)第一次落在直線(xiàn)y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)y=x與y軸的夾角是45°，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°；
故答案為：45．

（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°．
理由：∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中

AM=CN ∠OAM=∠OCN AO=CO

∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°．

②△MBN的周長(zhǎng)的值為2，
證明：如圖所示：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中

∠EOA=∠CON OA=OC ∠OAE=∠OCN

，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=OC ∠EOM=∠COM OM=OM

∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，△MBN的周長(zhǎng)無(wú)變化．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意求一些線(xiàn)段的長(zhǎng)度或角的度數(shù)，總要整理到已知線(xiàn)段的長(zhǎng)度上或已知角的度數(shù)上進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．