Question

在中，，，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、于、兩點(diǎn). 如圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的三種情況，試探究：

（1）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察線段和之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②加以證明；
（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是否能成為等腰三角形？若能，寫出所有 為等腰三角形時(shí)的長（直接寫出答案即可）；若不能，請說明理由;
（3）如圖，若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的處，且，和前面一樣操作，試問線段和之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖④證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）PD=PE （2）能成為等腰三角形；0，1， （3）

試題分析：（1）PD=PE；將一塊等腰直角三角板PDE的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，旋轉(zhuǎn)過程中圖形的形狀、大小不變，所以PD=PE
（2）能成為等腰三角形；在中，，，是等腰直角三角形；當(dāng)CE=0，即C、E點(diǎn)重合時(shí)，斜邊的中點(diǎn)處，CP是斜邊上的高，CP⊥AB，PC=PB=，此時(shí)能成為等腰三角形；當(dāng)CE=1時(shí)，E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)圖形如圖1所示，PE=BE= ，所以能成為等腰三角形；當(dāng)CE=，旋轉(zhuǎn)圖形如圖3所示，CE=CB+BE；此時(shí)能成為等腰三角形
（3）；若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的處，且，所以F是AB的四等分點(diǎn)；；過C點(diǎn)做CM⊥AB交AB于M點(diǎn)；所以M是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)；在中，，，CM=AB的一半；DF是的中位線，所以DF=CM的一半，所以DF= ；同理EF= ，所以
點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)和等腰三角形，掌握旋轉(zhuǎn)的特征，熟悉等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵