Question

如圖，直角坐標系中，以點A（1，0）為圓心畫圓，點M（4，4）在⊙A上，直線y=-

3

4

x+b過點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．
（1）求⊙A的半徑和b的值；
（2）判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若點P在⊙A上，點Q是y軸上C點下方的一點，當△PQM為等腰直角三角形時，請直接寫出滿足條件的點Q坐標．

Answer 1

分析：（1）由圖可得，AM²=AC²+MC²，且AC=3，MC=4，代入可得；
（2）只要證明AB²=AM²+BM²，由圖可得出，BM²=MC²+BC²，由AB=

25

3

，MC=4，BC=

16

3

，代入即可求出；
（3）題目分為3種情況：①PQ=QM，②PM=MQ，③PQ=PM；點M（4，4），點P（5cosA，5sinA），Q（0，y）；

解答：解：（1）連接AM，作MD⊥OB，由點M（4，4），A（1，0），
∴|AM|=

(4-1)2+42

=5，
即，⊙A的半徑為5；
把點M（4，4）代入y=-

3

4

x+b得，4=-

3

4

×4+b，
解得，b=7；

（2）由圖得，0=-

3

4

x+7，得x=

28

3

，
即OB=

28

3

，
∴AB=

28

3

-1=

25

3

，BD=

28

3

-4=

16

3

，
∴AM²+MB²=5²+4²+(

16

3

)2=69

4

9

，
AB²=(

25

3

)2=69

4

9

，
∴∠AMB=90°，
∴直線BC與⊙A相切；

（3）①當∠PQM=90°時，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴過點M作MP⊥OB交⊙O于點P，
點Q與點O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②過點M作MN⊥y軸，MD⊥x軸，
當△MNQ≌△MDP時，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③當∠QPM=90°時，P在y的左方，如圖，設P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=2，b=-8（b=2也符合條件，雖與②中b同，但直角不同），
第二情況：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=3+

41

（舍去），b=3-

41

．
綜合上述：Q的坐標是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-

41

）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目．