Question

如圖，直線l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點A坐標是______，點B的坐標______，BC=______．
（2）當點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．
（3）當△PQB為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵y=x+6
∴當x=0時，y=6，
當y=0時，x=-8，
即點A的坐標是（-8，0），點B的坐標是（0，6），
∵C點與A點關于y軸對稱，
∴C的坐標是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC==10，

（2）當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C關于y軸對稱，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP．

（3）分為三種情況：
①當PB=PQ時，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB=PQ，
即此時P的坐標是（2，0）；
②當BQ=BP時，則∠BPQ=∠BQP，
∵∠BAO=∠BPQ，
∴∠BAO=∠BQP，
而根據三角形的外角性質得：∠BQP＞∠BAO，
∴此種情況不存在；
③當QB=QP時，則∠BPQ=∠QBP=∠BAO，
即BP=AP，
設此時P的坐標是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP²=OP²+OB²，
∴（x+8）²=x²+6²，
解得：x=-，
即此時P的坐標是（-，0）．
∴當△PQB為等腰三角形時，點P的坐標是（2，0）或（-，0）．
故答案為：（-8，0），（0，6），10．
分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數的解析式，求出A、B的坐標，根據勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據點的坐標求出AP=BC，根據全等三角形的判定推出即可．
（3）分為三種情況：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根據（2）即可推出①，根據三角形外角性質即可判斷②，根據勾股定理得出方程，即可求出③．
點評：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．