Question

有一種螃蟹，從海里捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天，如果在池塘里放養(yǎng)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的螃蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)螃蟹的個體重量基本保持不變．現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活螃蟹1000千克放養(yǎng)在池塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元．據(jù)推測，此后每千克活螃蟹的市場價在前5天內(nèi)不發(fā)生變化，從第6天開始每天漲價1元，放養(yǎng)30后，每天漲價2元，但是，放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且每天還有10千克螃蟹死去，假設(shè)死螃蟹當(dāng)天全部出售，售價都是每千克20元．
（1）寫出市場價P（元）與放養(yǎng)時間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）如果放養(yǎng)X天后將活螃蟹一次性出售，并記1000千克螃蟹的銷售總額Q（元），請求出Q（元）與放養(yǎng)時間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）該經(jīng)銷商將這批螃蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲得最大利潤？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）分三段討論，①1≤X≤5，②5＜X≤30，③X＞30，分別求出P與X的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)Q=（售價-進(jìn)價）×剩余螃蟹量，即可得出Q（元）與放養(yǎng)時間X（天）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，分別確定每一個時間段的最大利潤，比較即可得出答案．

解答：解：（1）①當(dāng)1≤X≤5時，P=30；
②5＜X≤30時，P=30+（X-5）=25+X；
③當(dāng)X＞30時，P=30+25+2（X-30）=2X-5；
綜上可得P=

30(X≤5) 25+X(5＜X≤30) 2X-5(X＞30)

；

（2）當(dāng)1≤X≤5時，Q=30（1000-10X）+20×10X=30000-100X；
②5＜X≤30時，P=30+（X-5）=25+X；剩余螃蟹量為1000-10X，
則Q=（25+X）（1000-10X）+20×10X=-10X²+950X+25000；
③當(dāng)X＞30時，P=30+25+2（X-30）=2X-5，剩余螃蟹量為1000-10X，
則Q=（2X-5）（1000-10X）+20×10X=-20X²+2250X-5000
綜上可得Q=

30000-100X(1≤X≤5) -10X2+950X+25000(5＜X≤30) -20X2+2250X-5000(X＞30)

．

（3）①當(dāng)1≤X≤5時，w=Q-400X=30000-500X，
當(dāng)X=1時，銷售額最大，最大為29500元；
②5＜X≤30時，w=Q-400X=-10X²+550X+25000=-10（X-

55

2

）²+32562.5，
當(dāng)x=27或28時，Q取得最大，最大為32560元；
③當(dāng)X＞30時，w=Q-400X=-20X²+1850X-5000=-20（X-

185

4

）²+37781.25，
當(dāng)X=46時，Q取得最大，最大為37780元．
綜上可得當(dāng)x=46時，可獲得最大利潤，最大利潤為37780元．
答：該經(jīng)銷商將這批螃蟹放養(yǎng)46天后出售，可獲得最大利潤，最大利潤為37780元．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的知識，難點(diǎn)在于每一段自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式求解，注意仔細(xì)審題，熟練配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．