Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，P為AC上一點，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延長線于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．
（1）求證：AP=AM；
（2）求證：PC=AN．

Answer 1

證明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴在△PQA與△ANM中，，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM；

（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分線的性質），
∴PC=AN．
分析：（1）要點是確定一對全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP=AM；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質得到PC=PQ；從而得到PC=AN．
點評：本題是幾何綜合題，全等三角形的判定與性質、角平分線性質等重要知識點．題干中給出的條件較多，圖形復雜，難度較大，對考生能力要求較高；解題時，需要認真分析題意，以圖形的全等為主線尋找解題思路．解答中提供了多種解題方法，可以開拓思路，希望同學們認真研究學習．