Question

閱讀下列材料：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
由以上三個等式相加，可得1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（仿照以上材料，寫出解答過程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

 

 （填上結(jié)果即可）
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

 

 （填上結(jié)果即可）

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)題目信息列出算式，然后提取

1

3

，進(jìn)行計算即可得解；
（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，兩個連續(xù)的自然數(shù)的積等于這兩個數(shù)與后面的數(shù)的積減去與前面的數(shù)的積的

1

3

，然后列出算式進(jìn)行計算即可；
（3）利用（2）的規(guī)律類比得出答案即可．

解答：解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（n+1）（n+2）（n+3）．

點評：此題考查數(shù)字的規(guī)律性變化，利用類比的思想由特殊到一般，找出規(guī)律，解決問題．