Question

已知：拋物線y=x²+（m-1）x+m-2與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）記拋物線與y軸的交點為C，P（x₃，m）是線段BC上的點，過點P的直線與拋物線交于點Q（x₄，y₄），若四邊形POCQ是平行四邊形，求拋物線所對應的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線開口向上，當x=1時，y＜0，進而求出m的取值范圍即可；也可利用求根公式以及根的判別式求出即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，進而求出P，Q點橫坐標，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出CO=PQ，進而求出m的值，得出拋物線所對應的函數(shù)關系式即可．
解答：解：（1）解法一：∵拋物線開口向上，當x=1時，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
則m的取值范圍是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范圍是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B點坐標為：（2-m，0），C點坐標為：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：
，
解得：，
故直線BC所對應的函數(shù)關系式為：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四邊形POCQ是平行四邊形，∴PQ⊥x軸，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得拋物線所對應的函數(shù)解析式為：y=x²-3x-4，
解法二：直線BC所對應的函數(shù)解析式為y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=x+m-2，
+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-，
由1-=x₃=2，
解得：m=-2，
可得拋物線所對應的函數(shù)解析式為：y=x²-3x-4．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，根據(jù)已知得出CO=PQ進而用m表示出兩線段長是解題關鍵．