Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（-2，0），（4，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到A，B的對應點C，D．連接AC、BD、CD．

（1）寫出點C，D的坐標并求出四邊形ABDC的面積．
（2）在x軸上是否存在一點E，使得△DEC的面積是△DEB面積的2倍？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點F是直線BD上一個動點，連接FC、FO，當點F在直線BD上運動時，請直接寫出∠OFC與∠FCD，∠FOB的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標與圖形變化-平移

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)點平移的規(guī)律易得點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；
（2）設點E的坐標為（x，0），根據(jù)△DEC的面積是△DEB面積的2倍和三角形面積公式得到

1

2

×6×2=2×

1

2

×|4-x|×2，解得x=1或x=7，然后寫出點E的坐標；
（3）分類討論：當點F在線段BD上，作FM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同樣得到當點F在線段DB的延長線上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．

解答：解：（1）∵點A，B的坐標分別是（-2，0），（4，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度得到A，B的對應點C，D，
∴點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；
四邊形ABDC的面積=2×（4+2）=12；
（2）存在．
設點E的坐標為（x，0），
∵△DEC的面積是△DEB面積的2倍，
∴

1

2

×6×2=2×

1

2

×|4-x|×2，解得x=1或x=7，
∴點E的坐標為（1，0）和（7，0）；
（3）當點F在線段BD上，作FM∥AB，如圖1，
∵MF∥AB，
∴∠2=∠FOB，
∵CD∥AB，
∴CD∥MF，
∴∠1=∠FCD，
∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD；
當點F在線段DB的延長線上，作FN∥AB，如圖2，
∵FN∥AB，
∴∠NFO=∠FOB，
∵CD∥AB，
∴CD∥FN，
∴∠NFC=∠FCD，
∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB；
同樣得到當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標得到線段的長和線段與坐標軸的關系．也考查了平行線的性質(zhì)和分類討論的思想．