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觀察以下等式，猜想第n個等式應為
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
．
1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，…
根據以上規(guī)律，請你猜測：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1
3
n（n+1）（n+2）
（n為自然數）
分析：根據規(guī)律，從1開始的兩個連續(xù)自然數的積的和等于最后兩個自然數的乘積乘以比最后一個數大1的數然后再乘以
1
3
即可．
解答：解：1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，
…，
第n個等式為：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）．
故答案為：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）；
1
3
n（n+1）（n+2）．
點評：本題是對數字變化規(guī)律的考查，觀察出等式右邊的數的規(guī)律是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：三點一測叢書八年級數學上 題型：044

等式中找規(guī)律

　　孫海洋是個愛動腦筋的八年級學生，他特別喜歡數學，一有空就看數學課外書，并琢磨書上的問題．有一次，他從一本書中看到了下面一個有趣的問題：

　　仔細觀察下面4個等式：

　　32＝2＋22＋3

　　42＝3＋32＋4

　　52＝4＋42＋5

　　62＝5＋52＋6

　　……

　　請寫出第5個等式，由此能發(fā)現什么規(guī)律？用公式將發(fā)現的規(guī)律表示出來．

　　對這個問題，孫海洋感到很新奇，他認真分析題目給出的4個等式，發(fā)現有以下一些結構特征：

　　(1)每個等式的左邊都是一個自然數的平方，等式的右邊都是3個數的和．

　　(2)4個等式的左邊依次是32、42、52、62，它們的底數3、4、5、6是4個連續(xù)的自然數，其大小均比所處等式的序號多2．

　　(3)每個等式右邊的3個加數也有明顯的規(guī)律．

　　第1個加數和第3個加數是兩個連續(xù)的自然數，并且第3個加數等于該等式左邊平方數的底數，第2個加數也是一個平方數，底數等于第1個加數．

　　根據以上規(guī)律，孫海洋猜想第5個等式應該是72＝6＋62＋7．

　　孫海洋進一步歸納了這5個等式的規(guī)律，用公式表示為(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1)…①其中n＝2，3，…

　　如果將①式右邊變形、左邊不變，那么可得(n＋1)2＝n2＋2n＋1…②

　　等式②多么眼熟��！它不就是完全平方公式的一個具體應用嗎？由此可見，孫海洋同學歸納的規(guī)律是正確的．

想一想，當n＝0，1時，等式①是否成立？當n為負整數時，等式①是否成立？

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科目：初中數學 來源： 題型：填空題

觀察以下等式，猜想第n個等式應為________．
1×2=數學公式×1×2×3；
1×2+2×3=數學公式×2×3×4
1×2+2×3+3×4=數學公式×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=數學公式×4×5×6，…
根據以上規(guī)律，請你猜測：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=________（n為自然數）

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：填空題

觀察以下等式，猜想第n個等式應為______．
1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，…
根據以上規(guī)律，請你猜測：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______（n為自然數）

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察以下等式,猜想第n個等式應為__________.

　　1×2=1/3×1×2×3；1×2+2×3=1/3×2×3×4

　　1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5；1×2+2×3+3×4+4×5=1/3×4×5×6，……

　　根據以上規(guī)律,請你猜測：

　　1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)=　　　　(n為自然數)

　

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