Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，∠BDF=∠C，∠BFD=∠DEC．
（1）試判斷四邊形AFDE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如果要使四邊形AFDE成為菱形，試寫出△ABC需添加的條件（寫出一個(gè)）；
（3）如果要使四邊形AFDE成為矩形，試寫出△ABC需添加的條件（寫出一個(gè)）．
（4）請(qǐng)選擇（2）、（3）中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出DF∥AC，根據(jù)AAS證△BDF≌△DCE，推出∠B=∠EDC，得到DE∥AB，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)得出AE=EC，AF=FB，根據(jù)AB=AC得出AE=AF，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形推出即可；
（4）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)得出AE=EC，AF=FB，根據(jù)AB=AC得出AE=AF，根據(jù)菱形的判定推出即可．
解答：（1）解：四邊形AFDE是平行四邊形．
理由是：∵∠BDF=∠C，
∴DF∥AC，
在△BDF和△DCE中
∵，
∴△BDF≌△DCE（AAS），
∴∠B=∠EDC，
∴DE∥AB，
∴四邊形AFDE是平行四邊形．
     
（2）解：AB=AC，
理由是：∵四邊形AFDE是平行四邊形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
即平行四邊形AFDE是菱形．

（3）解∠A=90°，
理由是∵四邊形AFDE是平行四邊形，∠A=90°，
∴平行四邊形AFDE是矩形．

（4）選擇（2）．證明AB=AC，
理由是：∵四邊形AFDE是平行四邊形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
即平行四邊形AFDE是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形、平行四邊形、菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力和猜想能力，題目比較好．有一定的難度．