Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于點A和B，經(jīng)過A作直線與⊙O₁相交于D，與⊙O₂相交于C，設(shè)弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，線段CD的中點為K．求證：MK⊥KN．

Answer 1

分析：首先將△KDN繞點K順時針旋轉(zhuǎn)180°得△GCK，連接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延長AB交MN于S，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得CG=DN，∠GCK=∠KDN，又由弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，即可證得DN=BN，MC=MB，然后由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可證得∠GCM=∠MBN，即可根據(jù)SAS證得△GCM≌△NBM，然后由等腰三角形的性質(zhì)，證得MK⊥KN．

解答：證明：將△KDN繞點K順時針旋轉(zhuǎn)180°得△GCK，連接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延長AB交MN于S．…（3分）
則CG=DN，∠GCK=∠KDN，
∵弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，
∴DN=BN，MC=MB，…（6分）
∴CG=BN，
又∵∠KCM=∠MBS，∠GCK=∠KDN=∠SBN，
∴∠GCM=∠MBN，…（9分）
在△GCM與△NBM中，

CG=NB ∠GCM=∠MBN MC=MB

，
∴△GCM≌△NBM（SAS），…（10分）
∴GM=MN．
又GK=KN，
∴MK⊥KN…（12分）

點評：此題考查了相交圓的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．