Question

如圖所示，A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直．現在要從E處開始鋪設通往村莊A、村莊B的一條電纜，共有如下兩種鋪設方案：
方案一：E?D?A?B；
方案二：E?C?B?A．
經測量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15度．已知：地下電纜的修建費為2萬元/千米，水下電纜的修建費為4萬元/千米．
（1）求出河寬AD（結果保留根號）；
（2）求出公路CD的長；
（3）哪種方案鋪設電纜的費用低？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于點F．由于∠BDC=45°，∠ABD=15°，故利用三角形外角等于不相鄰兩個內角和知∠BAF=60°，即在直角三角形中，知道斜邊求鄰邊用余弦得AF=ABcos60°=4×=2（千米），又BF=ABsin60°=4×=6（千米）=DF所以可求出AD的值；
（2）過點B作BG⊥CD于G后，由矩形知BG=DF=6，由勾股定理知CG=8千米，有CD=CG+GD=14千米；
（3）由（2）得DE=CD-CE=8．方案一的鋪設費用為：2（DE+AB）+4AD=40萬元，方案二的鋪設費用為：2（CE+BC+AB）=（32+8）萬元．故方案一的鋪設電纜費用低．
解答：解：（1）過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于點F．
由題意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，BF=ABsin60°=4×=6（千米），
AF=ABcos60°=4×=2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2（千米）．
即河寬AD為（6-2）千米；

（2）過點B作BG⊥CD于G，易證四邊形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的長為14千米；

（3）方案一的鋪設電纜費用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的鋪設費用為：2（DE+AB）+4AD=40萬元，
方案二的鋪設費用為：2（CE+BC+AB）=（32+8）萬元．
∵40＜32+8，
∴方案一的鋪設電纜費用低．
點評：解此題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，利用三角函數的知識，進行解答即可．