Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm．

（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；

（2）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；

（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．

①當點P與點N重合時，

（舍去）．

因為BQ+CM=，此時點Q與點M不重合．

所以符合題意．

②當點Q與點M重合時，

．

此時，不符合題意．

故點Q與點M不能重合．

所以所求x的值為．

（2）由（1）知，點Q 只能在點M的左側(cè)，

①當點P在點N的左側(cè)時，

由，

解得．

當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．

②當點P在點N的右側(cè)時，

由，

解得．

當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．

所以當時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．

由于2x>x，

所以點E一定在點P的左側(cè)．

若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，

則點F一定在點N的右側(cè)，且PE=NF，

即．

解得．

由于當x=4時， 以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形．