Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為

 

；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為

 

；
（2）試探索使四邊形EPFD為菱形時(shí)x的取值范圍，并求當(dāng)x=2時(shí)，菱形EPFD的邊長(zhǎng)．提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助！

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)正好等于矩形的長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，畫出符合要求的圖形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）結(jié)合EF的長(zhǎng)度得出x的取值范圍，當(dāng)x=2時(shí)，設(shè)PE=m，則AE=2-m，利用勾股定理得出答案．

解答：解：（1）∵紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF，
當(dāng)AP=x=0時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，即為A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)P重合是已知條件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=

2

∴折痕EF的長(zhǎng)為

2

；
故答案為：3，

2

；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，EF最長(zhǎng)為

2

，此時(shí)x=1，
當(dāng)EF最短時(shí)，即EF=BC，此時(shí)x=3，
∴探索出1≤x≤3
當(dāng)x=2時(shí)，如圖，連接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，設(shè)PE=m，則AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²
解得m=

5

4

，此時(shí)菱形EPFD的邊長(zhǎng)為

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了折疊前后對(duì)應(yīng)關(guān)系和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知條件得出對(duì)應(yīng)線段與對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．