Question

我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售，當(dāng)?shù)卣�府�?duì)該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每年投入x萬元，可獲得利潤P=-

1

100

(x-60)2+41（萬元），當(dāng)?shù)卣�府�(dāng)M在“十二五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：規(guī)劃后對(duì)該項(xiàng)目每年投入100萬元，在實(shí)施規(guī)劃的5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲利潤
Q=-

99

100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（萬元）
（1）若不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？
（2）①求公路在修建過程中這兩年在當(dāng)?shù)劁N售的最大利潤．
②設(shè)在公路通車后的3年中，每年用x萬元投資本地銷售，而用剩下的（100-x）萬元投資外地銷售，這3年中每年的總利潤為W萬元，求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（W=公路修通后每年當(dāng)?shù)劁N售利潤+公路修通后每年外地銷售利潤）
③扣除前兩年的修路費(fèi)用，設(shè)這5年的純利潤為S萬元，求S與x的關(guān)系式．
（S=前兩年的最大利潤+后3年每年的總利潤×3-前兩年的修路費(fèi)用）
④求S的最大值．
（3）根據(jù)（1）、（2），該規(guī)劃方案是否具有實(shí)施價(jià)值．

Answer 1

分析：（1）由可獲得利潤P=-

1

100

（x-60）²+41（萬元），即可知當(dāng)x=60時(shí)，P最大，最大值為41，繼而求得5年所獲利潤的最大值；
（2）①根據(jù)（1）可知：當(dāng)x＜60時(shí)，p隨x增大而增大，可得當(dāng)x=50時(shí)利潤最大，即可求出答案；
②根據(jù)W=公路修通后每年當(dāng)?shù)劁N售利潤+公路修通后每年外地銷售利潤，把本地銷售的量x和投資外地銷售的量100-x代入即可列出函數(shù)關(guān)系式；
③根據(jù)S=前兩年的最大利潤+后3年每年的總利潤×3-前兩年的修路費(fèi)用，將②中求出的W代入S，即可列出函數(shù)關(guān)系式；
④將③得出的函數(shù)解析式進(jìn)行配方即可求出最大值；
（3）比較可知實(shí)施與不實(shí)施所獲得的利潤，即可作出判斷．

解答：解：（1）∵P=-

1

100

(x-60)2+41，
∴當(dāng)x=60時(shí)，p取最大值41，
5年所獲利潤的最大值=41×5=205；

（2）①∵a=-

1

100

＜0，
∴當(dāng)x＜60時(shí)，p隨x增大而增大，
∵撥出50萬進(jìn)行修路，
∴當(dāng)?shù)卣�府�?duì)該特產(chǎn)的銷售投資為50萬，
∴當(dāng)x=50時(shí)，p取最大值，
代入可得p=40，
則這兩年在當(dāng)?shù)劁N售的最大利潤=40×2=80；
②由題意得：W=-

1

100

（x-60）²+41-

99

100

x²+

294

5

x+160
=-x²+60x+165；
③由題意得：S=80-50×2+3（-x²+60x+165）
=-3x²+180x+475；
④S=-3x²+180x+475
=-3（x-30）²+3175
當(dāng)x=30時(shí)，S取最大值3175；

（3）由（1）、（2）可得：實(shí)施該方案5年獲得的利潤為3175萬元，不實(shí)施該方案5年獲得利潤205萬元，
∵3175＞205，
∴該規(guī)劃方案有實(shí)施價(jià)值．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是理解題意，還要注意后三年的最大值的求解方法是利用配方法求得函數(shù)最大值．