Question

在等腰△ABC中，三邊分別為a、b、c，其中a=5，若關(guān)于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則△ABC的周長=    ．

Answer 1

【答案】分析：先由關(guān)于x的一元二次方程x²+（b+2）x+6-b=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，得出根的判別式△=0，據(jù)此求出b的值；再由三角形三邊關(guān)系定理確定等腰三角形的三邊長，即可求得其周長．
解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（b+2）²-4（6-b）=0，即b²+8b-20=0；
解得b=2，b=-10（舍去）；
①當(dāng)a為底，b為腰時，則2+2＜5，構(gòu)不成三角形，此種情況不成立；
②當(dāng)b為底，a為腰時，則5-2＜5＜5+2，能夠構(gòu)成三角形；
此時△ABC的周長為：5+5+2=12．
故答案為12．
點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式（△=b²-4ac）之間的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．注意在求三角形的周長時，不能盲目的將三邊相加，而應(yīng)在滿足三角形三邊關(guān)系定理的條件下分類討論，以免造成多解、錯解．