Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G．
（1）觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與△EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△EDP周長(zhǎng)的比是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解．因?yàn)镃P=1，所以需求對(duì)應(yīng)邊DE的長(zhǎng)度．設(shè)DE=x，則AE=EP=2-x，根據(jù)勾股定理可求．

解答：解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．     （1分）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折疊知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP．                            （2分）

（2）設(shè)ED=x，則AE=2-x，
由折疊可知：EP=AE=2-x．
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED²+DP²=EP²，
即x²+1²=（2-x）²
解得x=

3

4

．
∴ED=

3

4

．                                 （3分）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1

3 4

=

4

3

．
∴△PCG與△EDP周長(zhǎng)的比為4：3．               （4分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及折疊問題、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度偏上．