Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G。

（1）求證：AF⊥BE；

（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）若GO：CF=4：5，試確定E點的位置。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。

∴△ABE≌△DAF（SAS）�！唷螦BE=∠DAF。

又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。

（2）BO=AO+OG。理由如下：

由（1）的結(jié)論可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

∴△ABO≌△DAG（AAS）�！郆O=AG=AO+OG。

（3）過E點作EH⊥DG，垂足為H，

由矩形的性質(zhì)，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5。

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。

∴△ABE∽△HED�！郃B：BE=EH：ED=4：5。

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，∴AE：AD=3：4，即AE=AD。

∴點E在AD上離點A的AD處。

【解析】（1）由DE=CF及正方形的性質(zhì)，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，由SAS證明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余關(guān)系得出∠AOE=90°即可。

（2）由（1）的結(jié)論根據(jù)AAS可證△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG。

 （3）過E點作EH⊥DG，垂足為H，則EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，則OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，從而得出AE：AD。