Question

圖（1）是一個面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2），經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請你利用這一規(guī)律求經(jīng)過第10次“生長”后的圖中所有正方形的面積和為：

11

．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理，發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過一次生長后，兩個小正方形的面積和等于第一個正方形的面積，故經(jīng)過一次生長后，所有正方形的積和等于2；依此類推，經(jīng)過n次生長后，所有正方形的面積和等于第一個正方形的面積的（n+1）倍，進(jìn)而得問題答案．

解答：解：圖（2）：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．
根據(jù)勾股定理，得a²+b²=c²，
即：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1；
所有正方形的面積之和為2=（1+1）×1；
圖（3）正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積，
正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積，
正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積
=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1，
所有正方形的面積之和為3=（2+1）×1
…
推而廣之，“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（n+1）×1，
則：“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（10+1）×1=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．