Question

如圖，已知點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，2），求：
①直線AB的解析式；
②過點(diǎn)C（2，0）的直線（與x軸不重合）截坐標(biāo)軸于點(diǎn)P，若截得的小三角形△PCO與△AOB相似，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：①利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
②分△COP∽△AOB或△POC∽△AOB兩種情況，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得OP的長，從而求得P的坐標(biāo)．

解答：解：①設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=2 4k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 1 2

．
則直線AB的解析式是：y=-

1

2

x+2；

②∵A的坐標(biāo)是（4，0），C的坐標(biāo)是：（2，0）．則C是OA的中點(diǎn)．
∴OA=4，OB=2，OC=2，
當(dāng)△COP∽△AOB時(shí)，

OC

OA

=

OP

OB

，即

2

4

=

OP

2

，
解得：OP=1．
∴P的坐標(biāo)是：（0，1）或（0，-1）；
當(dāng)△POC∽△AOB時(shí)，

OC

OB

=

OP

OA

，即

2

2

=

OP

4

，
解得：OP=4，
則P的坐標(biāo)是：（0，4）或（0，-4）．
故P的坐標(biāo)是：（0，1）或（0，-1）或（0，4）或（0，-4）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，正確理解分兩種情況討論是關(guān)鍵．