Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）求出反比例函數(shù)解析式；
（2）若四邊形ABCD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下請(qǐng)?jiān)趫D上連接OA，OB．并求出△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，4）代入y=

m

x

中求m，可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）依題意可知AC⊥BD，當(dāng)四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，四邊形面積等于對(duì)角線積的一半，列方程求a、b的值；
（3）設(shè)直線AB為y=kx+b，將A（1，4），B（2，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求直線AB解析式，從而確定直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AOB=S_△BOE-S_△AOE求面積．

解答：解：（1）∵y=

m

x

過(guò)點(diǎn)A（1，4），
∴m=xy=4，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

；

（2）∵B（a，b）在y=

4

x

上，
∴ab=4，
∵S_{四邊形ABCD}=

1

2

•BD•AC
∴

1

2

a×4=4，
解得：a=2，
∴b=2，
B（2，2）；

（3）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，將A（1，4），B（2，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

k+b=4 2k+b=2

，
解得：k=-2，b=6，
∴直線AB解析式為：y=-2x+6，
直線AB與y軸的交點(diǎn)為E（0，6），
即OE=6，
∴S_△AOB=S_△BOE-S_△AOE=

1

2

•OE•BD-

1

2

•OE•OC
=

1

2

×6×2-

1

2

×6×1=3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)及一次函數(shù)解析式的求法，三角形及四邊形面積的求法．注意通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．