Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半徑及△ACP的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接AN，
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直徑，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半徑
∴CP是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，
∴=，
∴AC=5，
∴⊙O的半徑為
如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．
由（1）得BN=CN=BC=，
在Rt△CAN中，AN==2
在△CAN和△CBD中，
∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴=，
∴BD=4．
在Rt△BCD中，CD==2，
∴AD=AC-CD=5-2=3，
∵BD∥CP，
∴=，=
∴CP=，BP=
∴△APC的周長(zhǎng)是AC+PC+AP=20．
分析：（1）欲證明直線CP是⊙O的切線，只需證得CP⊥AC；
（2）利用正弦三角函數(shù)的定義求得⊙O的直徑AC=5，則⊙O的半徑為．如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，構(gòu)建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段
BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行線分線段成比例分別求得線段PC、PB的長(zhǎng)度．則△ACP的周長(zhǎng)迎刃可解了．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．注意，勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．