(2008•達州)含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)繞直角頂點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α(∠α<90°),再沿∠A的對邊翻折得到△A′B′C,AB與B′C交于點M,A′B′與BC交于點N,A′B′與AB相交于點E.
(1)求證:△ACM≌△A′CN;
(2)當∠α=30°時,找出ME與MB′的數(shù)量關(guān)系,并加以說明.

【答案】分析:(1)要證△ACM≌△A'CN,根據(jù)已知,只需證∠ACM=∠A′CN.
很明顯都用90°減去∠BCB′就可以得到.再加上∠A=∠A′,AC=A′C,即可證三角形全等.
(2)根據(jù)題意可知,∠MCN=∠α=30°,則∠AMC=∠MCN+∠B=60°,那么∠EMB′=60°.
而∠B′=30°,顯然在Rt△MB′E中,ME=MB′.
解答:(1)證明:∵∠A=∠A′,AC=A′C,∠ACM=∠A'CN=90°-∠MCN,
∴△ACM≌△A'CN.

(2)解:在Rt△ABC中
∵∠B=30°,∴∠A=90°-30°=60°.
又∵∠α=30°,∴∠MCN=30°,
∴∠ACM=90°-∠MCN=60°.
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°.
∵∠B′=∠B=30°,
所以三角形MEB′是Rt△MEB′,且∠B′=30°.
所以MB′=2ME.
點評:本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)和對折后得到的圖形和原來的圖形全等的知識.
練習冊系列答案
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(1)求證:△ACM≌△A′CN.
(2)當∠α=30°時,找出ME與MB′的數(shù)量關(guān)系,并加以說明.

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