Question

已知：AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B是切點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，AD∥OC，OC交BD于E．
（1）求證：OC是BD的中垂線；
（2）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，證明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對圓周角為90°得到AD⊥BD，又AD∥OC，得到OC⊥BD，再根據(jù)垂徑定理得到OC平分BD；
（2）OC是BD的中垂線，得到CD=CB，易證△ODC≌△OBC，則∠ODC=∠OBC，而BC是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC=90°．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
又∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴OC平分BD，
即OC是BD的中垂線；

（2）CD與⊙O相切．理由如下：
連OD，
∵OC是BD的中垂線，
∴CD=CB，
而OD=OB，OC公共，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC，
又∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD與⊙O相切．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和三角形全等的判定與性質(zhì)．