Question

菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F點，下列結論：
①BF為∠ABE的角平分線； ②DF=2BF；③2AB²=DF•DB；④sin∠BAE=．
其中正確的為

1. A.
   ②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①④

Answer 1

C
分析：由四邊形ABCD是菱形，即可得BF為∠ABE的角平分線；可得①正確；由當∠ABC=60°時，DF=2BF，可得②錯誤；連接AC，易證得△AOD∽△FAD，由相似三角形的對應邊成比例，可證得AD：DF=OD：AD，繼而可得2AB²=DF•DB，即④正確；連接FC，易證得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF=∠BAE，AF=CF，然后由正弦函數的定義，可求得④正確．
解答：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴BF為∠ABE的角平分線，
故①正確；
②連接AC交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∴當∠ABC=60°時，△ABC是等邊三角形，
即AB=AC，
則DF=2BF，
∵∠ABC的度數不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②錯誤；
③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD=90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=DB，AD=AB，
∴∠AOD=∠FAD=90°，
∵∠ADO=∠FDO，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF=OD：AD，
∴AD²=DF•OD，
∴AB²=DF•DB，
即2AB²=DF•DB；
故③正確；
④連接CF，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF==，
∴sin∠BAE=．
故④正確．
故選C．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質以及銳角三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．