Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0）（0，3），過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
①求拋物線的解析式；
②求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出AD+CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)解析式；
（2）AD+BC的最小值就是線段BC的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c．
根據(jù)題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

則拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；

（2）拋物線的對(duì)稱軸是：x=1
則A關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是B．
∵B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵點(diǎn)D在直線x=1上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．
則BC=

32+32

=3

2

即AD+CD的最小值是3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，正確理解AD+BC最小的條件是解題的關(guān)鍵．