Question

如圖，在□ABCD中,點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，連接ME.

（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°,求□ABCD的面積；

（2）若BC=2AB，求證：∠EMD=3∠MEA.

 

 

Answer 1

（1）24；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；

（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），進(jìn)而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，進(jìn)而得出答案．

（1）【解析】
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，AM=2AE=4，

∴AD=2AM=8．在?ABCD的面積中，BC=CD=8，

又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=BC=4，

∴AB=6，CE=4，

∴?ABCD的面積為：AB×CE=6×4=24；

（2）證明：延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)N，連接CM．

∵在?ABCD中，AB⊥CD，∴∠AEM=∠N，

在△AEM和△DNM中

∵，

∴△AEM≌△DNM（ASA），

∴EM=MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，

∴CE⊥CD，

∴CM是Rt△ECN斜邊的中線，

∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，

∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．

∵在平行四邊形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，

∴DC=MD，

∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，

∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，

即∠EMD=3∠AEM．

考點(diǎn)：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．