Question

如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正確的是（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”同時(shí)利用三角形的全等性質(zhì)求解．
解答：解：如下圖所示：連接AC，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD交BC于Q，延長(zhǎng)CD交AB于P．
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
點(diǎn)D為兩條高的交點(diǎn)，所以BM為AC邊上的高，即：BM⊥AC．
由中位線定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正確．
∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，
∴∠DBQ=∠CAQ，
∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，
∵∠BQD=∠AQC=90°，
∴根據(jù)以上條件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正確．
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°-（∠A+∠ABC+∠C）=45°
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°-∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；
無(wú)法證明AD=CD，故④錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)在于三角形的中位線和三角形全等的判斷及應(yīng)用．