Question

某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）xm2+2+（m-2）x-1=0提出了下列問題．
（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程為一元一次方程，m是否存在？若存在，請求出．你能解決這個問題嗎？

Answer 1

分析：（1）要使方程為一元二次方程，則m+1≠0，即m≠-1且m²+2=2，即m²=0，m=0；再把m=0代入原方程，利用求根公式解即可；
（2）分三種情況討論：m²+2=1；m²+2=0；m+1=0．求出m的值，確定方程，最后解方程即可．

解答：解：（1）存在．
若使方程為一元二次方程，則m+1≠0，即m≠-1且m²+2=2，即m²=0，m=0；
∴m=0，
當(dāng)m=0時，方程變?yōu)閤²-2x-1=0，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（-1）=8，
∴x=

2± 8

2

=

2±2 2

2

=1±

2

，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

．
因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根為x₁=1+

2

，x₂=1-

2

；

（2）存在．
若使方程為一元一次方程，要分類討論：
①當(dāng)m²+2=1，即m²=-1，無解；
②當(dāng)m²+2=0，無解；
③當(dāng)m+1=0，即m=-1時，m-2=-3≠0，
所以m=-1滿足題意；
當(dāng)m=-1時，原方程變?yōu)椋?3x-1=0，
解得x=-

1

3

．
因此，當(dāng)m=-1時，該方程是一元一次方程，其解為x=-

1

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式為：x=

-b± b2-4ac

2a

（b²-4ac≥0）；用求根公式求解時，先要把方程化為一般式，確定a，b，c的值，計算出△=b²-4ac，然后代入公式．同時考查了一元二次方程和一元一次方程的定義以及分類討論的思想的運用．