Question

如圖，在梯形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別為BM、CM的中點．
（1）求證：四邊形MENF是平行四邊形；
（2）當梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形MENF是菱形？
（3）若四邊形MENF的面積是梯形ABCD面積的，問AD、BC滿足什么關(guān)系？

Answer 1

（1）證明：∵N為BC的中點，E、F分別為BM、CM的中點，
∴NE∥MC，且NE=MC=MF，
∴四邊形MENF是平行四邊形；

（2）證明：若四邊形MENF是菱形，則ME=MF，即MB=MC，
則∠MBC=∠MCB，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
又∵M為AD的中點，
∴AM=DM，
則在△AMB與△DMC中，
∵，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
即：當梯形ABCD是等腰梯形時，四邊形MENF是菱形；

（3）證明：∵NE，NF為△MBC的中位線，
∴S_{四邊形MENF}=S_△MBC，
要使S_{四邊形MENF}=S_梯形ABCD，即S_△MBC=S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
設(shè)AD與BC之間的距離為h，
則 BC•h=×（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=（BC+AD），得BC=2AD．
故當BC=2AD時，四邊形MENF的面積是梯形ABCD面積的．
分析：（1）利用三角形中位線定理證得NE∥MC，且NE=MC=MF，然后由“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”推知四邊形MENF是平行四邊形；
（2）利用全等三角形的判定定理SAS證得△AMB≌△DMC；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等推知AB=CD，即梯形ABCD是等腰梯形時，四邊形MENF是菱形；
（3）由三角形中位線定理與三角形的面積公式知S_{四邊形MENF}=S_△MBC、已知條件S_{四邊形MENF}=S_梯形ABCD、圖形知S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，據(jù)此可以求得AD與BC的數(shù)量關(guān)系．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及全等三角形判定與性質(zhì)．菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．