Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B 向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)， HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長(zhǎng)為x，△HDE的面積為y．
【小題1】求證：△DHQ∽△ABC；
【小題2】求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；
【小題3】當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

【小題1】∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，
∴△DHQ∽△ABC．
【小題1】①如圖1，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，最大值．
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，最大值．
∴y與x之間的函數(shù)解析式為
y的最大值是．

【小題1】①如圖1，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
顯然ED=EH，HD=HE不可能；
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，=，；
若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，；
若ED=EH，則△EDH∽△HDA，
∴，，． 
∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形

解析【小題1】由兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，滿足了兩個(gè)三角形相似的條件。
【小題1】根據(jù)函數(shù)解析式可以求得函數(shù)最大值。