Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，過點A作AD⊥AB交BC的延長線于點D．動點P從點B出發(fā)以每秒3個單位的速度沿B-A-D方向向終點D運動，另一動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A-C-B方向向終點B運動，連接PQ．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點，則另一點也立即停止運動．設動點運動的時間為t秒．
（1）求線段AD的長；
（2）當點Q在線段AC上時，求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式并寫出自變量t的取值范圍；
（3）請?zhí)剿鳎涸谡麄�運動過程中，是否存在某一時刻t，使得直線PQ與△ABC的一邊平行？若存在，請求出所有滿足條件t的值；若不存在，請說明理由；
（4）當t=

35

12

或

475-5 3265

192

時，點P、Q、D恰好在同一條直線上？（請直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的對應邊成比例知

AD

AB

=

AC

BC

，由此可以求得線段的長度；
（2）作輔助線PM（過點P作PM⊥AC于點M）構建平行線PM∥BC，然后利用平行線截線段成比例知

PM

CB

=

AP

AB

，即PM=

4

5

（5-3t），最后由三角形的面積公式即可列出△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式；
（3）需要分類討論：當PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB時，由平行線截線段成比例列出比例式，即可求得相應的t值；
（4）①當點P與點D重合、點Q在線段BC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上；②如圖5，當點P在線段AB上，點Q在線段AC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代換），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴

AD

BA

=

AC

BC

（相似三角形的對應邊成比例），即

AD

5

=

3

4

，
∴AD=

15

4

；

（2）如圖1，過點P作PM⊥AC于點M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴

PM

CB

=

AP

AB

（平行線截線段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=

4

5

（5-3t），
∴S=

1

2

AQ•PM=

1

2

×2t×

4

5

（5-3t）=-

12

5

t²+4t（0≤t≤

3

2

）；

（3）存在，有三種情況：
如圖2，當0≤t≤

3

2

時，令PQ∥BC，得

5-3t

5

=

2t

3

，解得t=

15

19

；
如圖3，當

3

2

＜t≤

5

3

時，令PQ∥AC，得

3t

5

=

7-2t

4

，解得t=

35

22

；
如圖4，當

5

3

＜t＜

35

22

時，令PQ∥AB，得

35 4 -3t

15 4

=

2t-3+ 9 4

25 4

，解得，t=

46

21

；
綜上所述，當t=

15

19

或

35

22

或

46

21

時，直線PQ與△ABC的一邊平行．

（4）當點P與點D重合、點Q在線段BC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上，
此時t=

AB+AD

3

=

5+ 15 4

3

=

35

12

．
如圖5，當點P在線段AB上，點Q在線段AC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上．
過點P作PM⊥BC于點M．則QC∥PM．
∵sin∠B=

AC

AB

=

PM

BP

，即

3

5

=

PM

3t

，解得PM=

9t

5

；
cos∠B=

BC

AB

=

BM

BP

，即

4

5

=

BM

3t

，解得BM=

12t

5

．
∵△ADC∽△BAC，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即

3

4

=

CD

3

，解得CD=

9

4

，
∴DM=CD+BC-BM=

25

4

-

12t

5

．
∵QC∥PM，
∴

DC

DM

=

QC

PM

（平行線分線段成比例），即

9 4

25 4 - 12t 5

=

3-2t

9t 5

，解得t=

475-5 3265

192

．
則t=

35

12

或 

475-5 3265

192

．
故答案是：

35

12

或 

475-5 3265

192

．

點評：本題考查了相似綜合題：相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線截線段成比例等知識點的綜合運用．