Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為5cm/s．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題，并寫出探索的主要過(guò)程．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為5

2

cm？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積為15cm²？
（3）請(qǐng)用配方法說(shuō)明，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出經(jīng)過(guò)1s后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5

2

cm²
（2）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ便可求出經(jīng)過(guò)2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²
（3）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時(shí)△PCQ的面積最大，進(jìn)而求出四邊形BPQA的面積最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5

2

cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據(jù)勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入數(shù)據(jù)（7-2t）²+（5t）²=（5

2

）²；
解得t=1或t=-

1

29

（不合題意舍去）；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，S_△PCQ的面積為15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

=

1

2

×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
經(jīng)過(guò)2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，△PCQ的面積最大，則此時(shí)四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2t）×5t=

5

2

×（-2t²+7t）
當(dāng)t=-

b

2a

時(shí)，即t=

7

2×2

=1.75s時(shí)，△PCQ的面積最大，
即S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2×1.75）×5×1.75²=

245

16

（cm²），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S_△ABC-S_△PCQ最大=

1

2

×7×24-

245

16

=

1099

16

（cm²），
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.75秒時(shí)，四邊形BPQA的面積最小為：

1099

16

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用，是各地中考的熱點(diǎn)，屬于中檔題．