Question

如圖，點B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB₁為一邊，構造等邊△OB₁A₁（點O，B₁，A₁按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B₂是△OBA的兩條中線的交點，再以OB₂為一邊，構造等邊△OB₂A₂（點O，B₂，A₂按逆時針方向排列），稱為第二次構造；以此類推，當第n次構造出的等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最后一個三角形的面積是   　．

Answer 1

試題分析：∵點B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，∴點B₁是△OBA的重心，也是內心。

∴∠BOB₁=30°。

∵△OB₁A₁是等邊三角形，∴∠A₁OB=60°+30°=90°。

∵每構造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，

∴還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合。

∴構造出的最后一個三角形為等邊△OB₁₀A₁₀。

如圖，過點B₁作B₁M⊥OB于點M，

∵，

∴，即。

∴，即。

同理，可得，即。

…，

∴，即構造出的最后一個三角形的面積是。