Question

如圖，點(diǎn)B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以OB₁為一邊，構(gòu)造等邊△OB₁A₁（點(diǎn)O，B₁，A₁按逆時針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B₂是△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，再以OB₂為一邊，構(gòu)造等邊△OB₂A₂（點(diǎn)O，B₂，A₂按逆時針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)?i>n次構(gòu)造出的等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是   　．

Answer 1

試題分析：∵點(diǎn)B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)B₁是△OBA的重心，也是內(nèi)心。

∴∠BOB₁=30°。

∵△OB₁A₁是等邊三角形，∴∠A₁OB=60°+30°=90°。

∵每構(gòu)造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，

∴還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合。

∴構(gòu)造出的最后一個三角形為等邊△OB₁₀A₁₀。

如圖，過點(diǎn)B₁作B₁M⊥OB于點(diǎn)M，

∵，

∴，即。

∴，即。

同理，可得，即。

…，

∴，即構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是。