Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜5）秒．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同．

①記△BPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） A(-3，0)；（2）時(shí)， . （3）t的值為或.

【解析】試題分析：（1）由直線y＝x+9與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，分別令x=0和y=0求出B與C的坐標(biāo)，又拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，把求出的B與C的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的表達(dá)式里得到關(guān)于b，c的方程，聯(lián)立解出b和c即可求出二次函數(shù)的解析式．又因A點(diǎn)是二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)令y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）連接OM，PM與⊙O′相切作為題中的已知條件來做．由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠OMC=90°從而得∠OMB=90°．又因?yàn)?/span>O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP得到OP為⊙O′的切線，然后根據(jù)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等可得OP=PM，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠POM=∠PMO，然后根據(jù)等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根據(jù)等角對(duì)等邊得PM=PB，然后等量代換即可求出OP的長，加上OA的長即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過的路程AP，最后根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可求出時(shí)間t的值．
（3）①由路程等于速度乘以時(shí)間可知點(diǎn)P走過的路程AP=3t，則BP=15-3t，點(diǎn)Q走過的路程為BQ=3t，然后aa過點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D，證△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用t=-時(shí)對(duì)應(yīng)的S的值即可求出此時(shí)的最大值．
②要使△NCQ為直角三角形，必須滿足三角形中有一個(gè)直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能為直角，所以分兩種情況來討論：第一種，當(dāng)角NQC為直角時(shí)，利用兩組對(duì)應(yīng)角的相等可證△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二種當(dāng)∠QNC=90°時(shí)，也是證三角形的相似，由相似得比例求出t的值．

試題解析：（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．
又拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，∴，解得： ，∴

令y=0，解得：A(-3，0)

（2）①過點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D．

∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴
∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴，解得
又

∴（0＜t＜5）

當(dāng)時(shí)， .

②存在△NCQ為直角三角形的情形.

∵BC=BA=15， ∴∠BCA=∠BAC，即∠NCQ=∠CAO

∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.

如圖,當(dāng)∠NQC=90°時(shí)，∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△COA，∴ ，∴，解得： ；

當(dāng)∠QNC=90°時(shí)，∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△OCA，∴ ，∴，解得：t=.

綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為或.