Question

如果f（x）=x²+x，證明方程4f（a）=f（b）無正整數(shù)解a，b．

Answer 1

∵f（x）=x²+x，
又∵4f（a）=f（b），
∴4（a²+a）=b²+b，
∴4a²+4a=b²+b，
∴（2a+1）²=b²+b+1，
∴2a+1=±

b2+b+1

，
若b是正整數(shù)，
∵b²+b+1不是完全平方式，
∴

b2+b+1

是無理數(shù)，
同理：b+

1

2

=±

4a2+4a+ 1 4

，
若a是正整數(shù)，
∵4a²+4a+

1

4

不是完全平方數(shù)，
∴

4a2+4a+ 1 4

是無理數(shù)，
∴方程4f（a）=f（b）無正整數(shù)解a，b．