Question

已知矩形紙片OABC的長(zhǎng)為4，寬為3，以長(zhǎng)OA所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），現(xiàn)將△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，將△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直線PE、PF重合．
（1）若點(diǎn)E落在BC邊上，如圖①，求點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)，并求過(guò)此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部，如圖②，設(shè)OP=x，AD=y，當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過(guò)點(diǎn)P、C、D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的寬為3即可得出C的坐標(biāo)為（0，3）．當(dāng)E落在BC邊時(shí)，四邊形OPEC和四邊形PADF均為正方形的性質(zhì)，那么OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1．因此P的坐標(biāo)為（3，0），D的坐標(biāo)為（4，1）．然后根據(jù)P，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過(guò)P、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出∠CPO=∠CPE，∠FPD=∠APD．由此可得出∠CPD=90°，由此不難得出Rt△POC∽R(shí)t△DAP，可根據(jù)線段OC、OP、PA、AD的比例關(guān)系，得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)關(guān)系式即可得出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
（3）可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)PQ是另一條直角邊，即∠DPQ=90°時(shí)，由于∠DPC=90°，且C在拋物線上，因此C與Q重合，Q點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)DQ是另一條直角邊，即∠PDQ=90°時(shí)，那么此時(shí)DQ∥PC．如果將PC所在的直線向上平移兩個(gè)單位，即可得出此時(shí)DQ所在直線的解析式．然后聯(lián)立直線DQ的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無(wú)解，則說(shuō)明不存在這樣的Q點(diǎn)，如果方程組有解，那么方程組的解即為Q的坐標(biāo)．
綜合上述兩種情況即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．

解答：
解：（1）由題意知，△POC，△PAD均為等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），
設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=1

，
∴

a= 1 2 b=- 5 2 c=3

，
∴過(guò)P、C、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x²-

5

2

x+3．

（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，則∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，
∴∠OPC=∠ADP．
∴Rt△POC∽R(shí)t△DAP．
∴

OP

AD

=

OC

AP

即

x

y

=

3

4-x

∵y=

1

3

x（4-x）
=-

1

3

x²+

4

3

x
=-

1

3

（x-2）²+

4

3

（0＜x＜4）
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值

4

3

．

（3）假設(shè)存在，分兩種情況討論：
①當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，由題意可知∠DPC=90°，且點(diǎn)C在拋物線上，
故點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合，所求的點(diǎn)Q為（0，3）
②當(dāng)∠QDP=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作平行于PC的直線DQ，假設(shè)直線DQ交拋物線于另-點(diǎn)Q，
∵點(diǎn)P（3，0），C（0，3），
∴直線PC的方程為y=-x+3，將直線PC向上平移2個(gè)單位與直線DQ重合，
∴直線DQ的方程為y=-x+5．
由

y=-x+5 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
得

x=-1 y=6

或

x=4 y=1

．
又點(diǎn)D（4，1），∴Q（-1，6），故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q（0，3），（-1，6）滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．