Question

（2007•張家界）拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1，已知：A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積的比；
（3）在對稱軸是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據(jù)此求解即可．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短，可找出C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，然后連接此點(diǎn)和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)．可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于x=1對稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
根據(jù)題意得：，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面積分別為S_△AOC=|OA|•|OC|，S_△BOC=|OB|•|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一個(gè)點(diǎn)P．C點(diǎn)關(guān)于x=1對稱點(diǎn)坐標(biāo)C'為（2，-3），
令直線AC'的解析式為y=kx+b
∴，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．
為x=1時(shí)，y=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識點(diǎn)．
解題的關(guān)鍵是根據(jù)所學(xué)的知識確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．