Question

已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處．

（1）如圖①，若BD=CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)F，求出重疊部分AEDF的面積（直接寫(xiě)出結(jié)果）．
（2）如圖②，若BD=CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AB于點(diǎn)E、另一條直角邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（3）若BD=2CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AC于點(diǎn)F，另一條直角邊交射線AB于點(diǎn)E．設(shè)CF=x（x＞1），重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出重疊部分AEDF的面積等于三角形ABC面積的一半．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，則y=

1

2

BE•DM=

1

2

(3-x)•

3

2

=

3

4

（3-x）（0≤x≤3且x≠

3

2

）．
（3）分兩種情況：①如圖①，連接AD，過(guò)點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N．則y=

3

2

x+

1

2

（1＜x≤2）；
②如圖②，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為N，則y=

9

2

-

1

2

x（2＜x≤3）．

解答：解：（1）S四邊形AEDF=

9

4

．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，y=

1

2

BE•DM=

1

2

(3-x)•

3

2

=

3

4

（3-x）（0≤x≤3且x≠

3

2

）．
（3）①如圖①，連接AD，過(guò)點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N．
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3

2

．
∵BD=2CD，
∴BD=2

2

，CD=

2

．
易得DN=1，DM=2，
易證∠EDM=∠FDN，
∵∠DME=∠DNF=90°，
∴△DME∽△DNF．
∴

ME

FN

=

DM

DN

．
∴ME=2（x-1）．
∴AE=2（x-1）+1=2x-1．
∴y=S△ADE+S△ADF=

1

2

(2x-1)•2+

1

2

(3-x)•1=

3

2

x+

1

2

(1＜x≤2)．
②如圖③，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為N，
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3

2

．
∵BD=2CD，
∴BD=2

2

，CD=

2

．
易得DN=1，
∴y=S△ABC-S△CDF=

9

2

-

1

2

x•1=

9

2

-

1

2

x(2＜x≤3)．
∴y=

3 2 x+ 1 2 (1＜x≤2) 9 2 - 1 2 x (2＜x≤3)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)的關(guān)系式．