Question

已知：在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于點(diǎn)E，CE、BD相交于F．
（1）求∠ECB的度數(shù)；
（2）求證：△AEC≌△FEB；
（3）探究BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，CE⊥AB于E
∴∠AEC=90°，
又∵∠AEC=∠ABC+∠ECB，∠ABC=45°，
∴∠ECB=∠AEC-∠ABC=90°-45°=45°；

（2）∵在△EBC中，∠ECB=∠ABC，
∴EB=EC，
∵在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACE=∠A+∠ABD=90°，
∴∠ACE=∠ABD，
在△BEF與△CEA中
，
∴△BEF≌△CEA （ASA）；

（3）BF=2CD，
理由如下：
∵在△ABC中，AB=CB，BD⊥AC于D，
∴BD平分AC，即AC=2CD，
∵△BEF≌△CEA，
∴BF=AC，
∴BF=2CD．
分析：（1）根據(jù)已知得出∠AEC=90°，得出∠ECB=∠AEC-∠ABC進(jìn)而求出即可；
（2）在△EBC中，∠ECB=∠ABC，可得EB=EC，再根據(jù)∠A+∠ACE=∠A+∠ABD=90°，可得∠ACE=∠ABD，進(jìn)而可證出△BEF≌△CEA；
（3）BF=2CD，在△ABC中，AB=CB，BD⊥AC于D，可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD平分AC，即AC=2CD，再由△BEF≌△CEA，可得BF=AC，利用等量代換可得BF=2CD．
點(diǎn)評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．