Question

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的角平分線交BC于D．
求證：AB+BD=AC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AC取一點E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因為∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因為∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC
BD=EC，進而可證明：AB+BD=AE+EC=AC．

解答：證明：在AC取一點E使AB=AE，
在△ABD和△AED中，

AB=AD ∠BAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED，
∴∠B=∠AED，BD=DE，
又∵∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴BD=EC，
∴AB+BD=AE+EC=AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．