Question

如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）設AC和DE交于點M，若AD=6，BD=8，求ED與AM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形性質求出AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACE=∠BCD，根據SAS證出即可；
（2）根據全等求出AE=BD=8，∠EAC=∠B，求出∠EAD=90°，根據勾股定理求出DE即可；過C作CN⊥ED于N，過A作AG⊥DE于G，根據三角形的面積公式求出AG，根據直角三角形性質求出DN，求出NG、CN，根據AG∥CN得出比例式，求出MG，在△AGM中，根據勾股定理求出AM即可．
解答：（1）證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD．

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，∠EAC=∠B，
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠EAB=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE==10，
過C作CN⊥ED于N，過A作AG⊥DE于G，
∴AG∥CN，
在△AED中，由三角形的面積公式得：AE×AD=DE×AG，
∴AG==，
在Rt△CED中，CE=CD，∠ECD=90°，CN⊥DE，
∴EN=DN=DE=5，
在△DGA中，由勾股定理得：DG==，
∴NG=5-=，
∵AG∥CN，
∴===，
∴=，
∴MG=，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM===，即AM=．
點評：本題考查了等腰三角形性質，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定等知識點的運用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目比較典型，有一定的難度．