Question

如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)F與B重合，求CE的長；
（2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；
（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．

Answer 1

解：（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，
∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．

（2）作DH⊥BC于H，
則DH=AB=7，CH=3．
設(shè)AF=CE=x，
∵F在線段AB上，
∴點(diǎn)E在線段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE，
∴，
∴，
整理得x²-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．
∴x=CE=5．

（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，
∴則HE=x-3，BF=y，
當(dāng)3≤x≤12時，
易證△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x²+x-，
當(dāng)0≤x＜3，
易證△BEF∽△HDE，
則HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x²-x+，
∴y=．
分析：（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；
（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；
（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．
點(diǎn)評：本題考查直角梯形的知識，同時考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注意對這些知識的熟練掌握并靈活應(yīng)用．